Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC.
Центр основания - точка О пересечения медиан треугольника основания.
В боковой грани SСB проведём апофему SД.
Тогда двугранный угол наклона боковой грани к основанию измеряется плоским углом SДО.
Расстояние от центра основания до боковой грани - это перпендикуляр ОК на апофему SД.
Высота пирамиды SО = Н = 2/sin(90°-60°) = 2/0,5 = 4 см.
Отрезок ОД = 2/sin60° = 2*2/√3 = 4/√3 см.
Медиана основания АД (она же и высота и биссектриса угла основания) равна трём отрезкам ОД по свойству медиан.
АД = 3*(4/√3) = 12/√3 = 4√3 см.
Сторона основания а = АД/cos30° = (4√3)/(√3/2) = 8 см.
Периметр основания Р = 3а = 3*8 = 24 см.
Апофема А = Н/sin60° = 4/(√3/2) = 8/√3 см.
Боковая поверхность пирамиды равна:
Sбок = (1/2)Р*А = (1/2)*24*(8/√3) = 96/√3 = 32√3 см².