Помогите, очень нужно. Задания ** фото. По сложности конец 11, профильный уровень.

Question 1

Помогите, очень нужно. Задания на фото. По сложности конец 11, профильный уровень.

Question 2

$1)\; \; z=y\sqrt{x}-y^2-x+6y\\\\ \left \{ {{z'_{x}=\frac{y}{2\sqrt{x}}-1=0} \atop {z'_{y}=\sqrt{x}-2y+6=0}} \right. \; \left \{ {{\sqrt{x}=\frac{y}{2}} \atop {\frac{y}{2}-2y+6=0}} \right. \; \left \{ {{x=\frac{y^2}{4}} \atop { \frac{3}{2}y=6}} \right. \; \left \{ {{x=4} \atop {y=4}} \right. \; \to \; M_0(4,4)\\\\z''_{xx}=\frac{y}{2}\cdot (-\frac{1}{2})\cdot x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{y}{4\sqrt{x^3}}\; ,\; A=z''_{xx}(M_0)=-\frac{4}{4\sqrt{4^3}}=-\frac{1}{8}$

$z''_{xy}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\; ,$ $B=z''_{xy}(M_0)=\frac{1}{2\sqrt4}=\frac{1}{4}$

$z''_{yy}=-2\; ,\; \;C= z''_{yy}(M_0)=-2\\\\AC-B^2=-\frac{1}{8}\cdot (-2)-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\ \textgreater \ 0\; \Rightarrow \; \; M_0\; tochka\; \; min$

$2)\; \; \int \frac{x+arctgx}{1+x^2} dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{1+x^2}+\int \frac{arctgx}{1+x^2}dx=\\\\=\frac{1}{2}ln(1+x^2)+\frac{arctg^2x}{2}+C\\\\\int x^2\cdot sin3x\, dx=\\\\=[\, u=x^2,\; du=2x\, dx,\; dv=sin3x\, dx,\; v=-\frac{1}{3}cos3x]=\\\\=-\frac{x^2}{3}\cdot cos3x+\frac{2}{3}\int x\cdot cos3x\, dx=\\\\=[u=x,\; du=dx,\; dv=cos3x\, dx,\; v=\frac{1}{3}sin3x]=\\\\=-\frac{x^2}{3}cos3x+\frac{2}{3}(\frac{x}{3}sin3x-\frac{1}{3}\int sin3x\, dx)=$

$=-\frac{x^2}{3}cos3x+\frac{2x}{9}sin3x+\frac{2}{27}cos3x+C$