Надо найти правильный ответ + или - (см. в приложении

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

     $sin(arctg\frac{3}{4})=?$

Обозначим   $x=arctg\frac{3}{4}$ .
По определению функции   $y=arctgx$ имеем: $\left \{ {{-\frac{\pi}{2}\ \textless \ arctgx\ \textless \ \frac{\pi}{2}} \atop {tgy=x}} \right.$ .
То есть угол х принадлежит либо 1, либо 4 четвертям    $(-\frac{\pi}{2}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{\pi}{2})$ и   $tgy=tg(arctgx)=x .$

$tgx=tg(arctg\frac{3}{4})=\frac{3}{4}\\\\1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}\; \; \to \; \; 1+(\frac{3}{4})^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$

Так как $x=arctg\frac{3}{4}$ принадлежит 1 или 4 четвертям, то в этих четвертях косинусы углов положительны, значит при извлечении квадратного корня из $cos^2x$ будем брать знак (+).

$\frac{1}{cos^2x}=\frac{25}{16}\; ,\; \; cos^2x=\frac{16}{25}\\\\cosx=+\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5} \\\\sinx=tgx\cdot cosx,\; tak\; kak\; \; tgx\cdot cosx=\frac{sinx}{cosx}\cdot cosx=sinx\\\\sinx=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}\\\\sin(arctg\frac{4}{5})=\frac{3}{5}$

Можно было найти sinx из формулы тригонометрической единицы

$sin^2x=1-cos^2x\; \; \to \; \; sinx=\pm \sqrt{1-cos^2x},$

но тогда надо пояснить, что угол х находится в 1 четверти и надо брать знак (+) перед корнем, так как синусы углов 1 четверти больше 0. Это можно пояснить так: $x=arctg\frac{3}{4}\; \to \; tgx=\frac{3}{4}\ \textgreater \ 0\; \; \Rightarrow$

угол принадлежит либо 1, либо 3 четверти. А по определению арктангенса

угол $-\frac{\pi }{2} \ \textless \ x=arctg\frac{3}{4}\ \textless \ \frac{\pi}{2}$ , то есть это угол 1 или 4 четверти. Значит , х принадлежит 1 четверти, где синусы углов положительны.

NNNLLL54_zn (834k баллов) 22 Апр, 18