Помогите решить нужно комплексные числа посчитать 1. Добавить 2 Отнять 3. умножить 4....

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-23T03:16:22+0000

Основные правила действия над комплексными числами вида   $a + bi \$     непосредственно следуют из определения мнимой единицы    $i = \sqrt{ -1 } \ ,$     которое задаёт, что    $i^2 = ( \sqrt{ -1 } )^2 = - 1 \ .$

Итак:

$z_1 = 1 - i \ ;$

$z_2 = 5 - 4i \ ;$

Тогда:

1)    $z_1 + z_2 = ( 1 - i ) + ( 5 - 4i ) = 1 - i + 5 - 4i = 6 - 5i \ ;$

$z_1 + z_2 = 6 - 5i \ ;$

2)    $z_1 - z_2 = ( 1 - i ) - ( 5 - 4i ) = 1 - i - 5 + 4i = -4 + 3i \ ;$

$z_1 - z_2 = -4 + 3i \ ;$

2* )    $z_2 - z_1 = 4 - 3i \ ;$

3)

$z_1 \cdot z_2 = ( 1 - i ) \cdot ( 5 - 4i ) = 5 - 4i - 5i + 4i^2 = 5 - 9i + 4 \cdot (-1) = 5 - 9i - 4 \ ;$

$z_1 \cdot z_2 = 1 - 9i \ ;$

4)          $z_1 : z_2 = \frac{ 1 - i }{ 5 - 4i } = \frac{ ( 1 - i ) ( 5 + 4i ) }{ ( 5 - 4i ) ( 5 + 4i ) } = \frac{ 5 + 4i - 5i - 4i^2 }{ 5^2 - (4i)^2 } =$

$= \frac{ 5 - i - 4 \cdot (-1) }{ 25 - 4^2 i^2 } = \frac{ 5 - i + 4 }{ 25 - 16 \cdot (-1) } = \frac{ 9 - i }{ 25 + 16 } = \frac{ 9 - i }{41} = \frac{9}{41} - \frac{i}{41} \ ;$

$z_1 : z_2 = \frac{9}{41} - \frac{i}{41} \ ;$

4* )          $z_2 : z_1 = \frac{ 5 - 4i }{ 1 - i } = \frac{ ( 5 - 4i ) ( 1 + i ) }{ ( 1 - i ) ( 1 + i ) } = \frac{ 5 + 5i - 4i - 4i^2 }{ 1^2 - i^2 } =$

$= \frac{ 5 + i - 4 \cdot (-1) }{ 1 - i^2 } = \frac{ 5 + i + 4 }{ 1 - (-1) } = \frac{ 9 + i }{ 1 + 1 } = \frac{ 9 - 3i }{2} = 4.5 + 0.5i \ ;$

$z_2 : z_1 = 4.5 + 0.5i \ ;$

$( z_1 : z_2 ) \cdot ( z_2 : z_1 ) = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{z_2}{z_1} = ( \frac{9}{41} - \frac{i}{41} ) ( 4.5 + 0.5i ) =$

$= \frac{81}{82} + \frac{9}{82} i - \frac{9}{82} i - \frac{i^2}{82} = \frac{81}{82} - \frac{-1}{82} = \frac{81}{82} + \frac{1}{82} = \frac{82}{82} = 1 \ ;$