Обчисліть площу фігури,обмеженої параболою у=8-х^2 і прямою y=4.(Если...

Question

Дано ответов: 2

flsh_zn · Answer 1 · 2018-04-23T11:17:08+0000

Оскільки y = 8 - x² -- парабола, що йде гільками вниз, а y = 4 -- пряма, що паралельна осі x, то навіть без рисунка зрозуміло, що верхнім графіком буде саме парабола.

Знайдемо межі інтегрування:
8 - x² = 4
x = +/- 2

Оскільки обидві функціі парні і межі інтегрування симетричні відносно осі y, площу можна знайти як:
$S =2\int\limits^2_0 {(8-x^2-4)} \, dx =2\int\limits^2_0 {(4-x^2)} \, dx=2*(4x- \frac{x^3}{3} |^2_0)=2*(8-\frac{8}{3})=2*\frac{16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$

Kajzer_zn · Answer 2 · 2018-04-23T11:17:12+0000

Строим график функции : у = 8 - х² - парабола
х I -3 -2 -1 0 1 2 3
у I -1 4 7 8 7 4 -1
Строим прямую у = 4

Найдём точки пересечения параболы
8 - х² = 0
х² = 8
х₁ = √8 х₂ = -√8

Найдем точки пересечения параболы с прямой
8 - х² = 4
х² = 4
х₁ = 2 х₂ = - 2

$S_{1} = \int\limits^a_b {(8- x^{2} )} \, dx =2* \int\limits^a_b {8x- \frac{ x^{3} }{3} } \, =2*(8* \sqrt{8}-8* \frac{ \sqrt{8} }{3}) } =$
$=2*(16* \sqrt{2}-16* \frac{ \sqrt{2} }{3})=64 \frac{ \sqrt{2} }{3}$ ,
где a = 0, b =√8

" alt=" S_{2}=2* \int\limits^a_b {(8- x^{2} )} \, dx=2* \int\limits^a_b {(8x- \frac{ x^{3} }{3} )} \, dx=2*(16- \frac{8}{3})= \frac{80}{3} " align="absmiddle" class="latex-formula"> ,
где a = 0, b = 2

S= S_{1} - S_{2}=64 \frac{ \sqrt{2} }{3}- \frac{80}{3}= \frac{64 \sqrt{2}-80 }{3}