Найдите угол DBA, если угол KCB равен 72

Question

Дан 1 ответ

Интереcующийся_zn · Answer 1 · 2018-04-23T16:00:54+0000

Эх, задача проста. Труднее все это записать. Приступим.
Из рисунка видно, что $\triangle ABK$ равнобедренный (так как $BK = AB$ ). С другой стороны видно, что основание этого треугольника поделено пополам $AK = DK + AD; DK = AD$ . Отсюда следует, что $BD$ — медиана, проведенная к основанию. Существует свойство, что в равнобедренном треугольнике, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. То есть, $\angle ADB = 90^{\circ}$ . Получается, что, для того чтобы найти искомый угол $\angle DBA$ нам осталось найти $\angle A$ . Найдем $\angle A$ и считай задача почти решена!
Рассмотрим $\triangle KCB$ . Как видно из рисунка, этот треугольник равнобедренный ( $KC = KB$ ). Можем найти $\angle CKB$ . Это нам пригодится. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. А также все углы треугольника в сумме дают 180°. То есть: $2*\angle C + \angle CKB = 180^{\circ}$
Отсюда:
$\angle CKB = 180^{\circ} - 2\angle C$
Из условия $\angle C = \angle KCB = 72^{\circ}$ . Отсюда:
$\angle CKB = 180^{\circ} - 2*72^{\circ} = 36^{\circ}$ . Отлично. Теперь поясню, где нам пригодится знание этого угла. Как я сказал ранее, наша задача на данный момент найти $\angle A$ , а уже потом найдем угол, который просят найти в задаче. Все углы треугольника дают в сумме 180°. То есть: $\angle A + \angle C + \angle K = 180^{\circ}$ . Отсюда $\angle A = 180^{\circ} - (\angle K + \angle C)$ . Рассмотрим по-подробнее $\angle K$ . Он представляет собой сумму двух других углов: $\angle K = \angle CKB + \angle BKD$ , причем $\angle CKB$ мы только что нашли, а $\angle BKD = \angle A$ , так как, как мы уже заметили ранее, $\triangle ABK$ равнобедренный.
Получается такая вот штука:
$\angle A = 180^{\circ} - (\angle C + \angle CKB + \angle A) \\ \angle A = 180^{\circ} - \angle C - \angle CKB - \angle A \\ \angle A + \angle A = 180^{\circ} - \angle C - \angle CKB \\ 2\angle A = 180^{\circ} - \angle C - \angle CKB \\ \angle A = \frac{180^{\circ} - \angle C - \angle CKB}{2}$ .
Вот так. Осталось найти этот самый $\angle A$ :
$\angle A = \frac{180^{\circ} - \angle C - \angle CKB}{2} \\ \angle A = \frac{180^{\circ} - 72^{\circ} - 36^{\circ}}{2} = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ}$ .
Отлично! Задача почти решена. Осталось найти искомый $\angle DBA$ . Опять-таки сумма всех углов треугольника равна 180°, а значит: $\angle DBA + \angle BDA + \angle A = 180^{\circ}$ , напомню, что $\angle BDA = 90^{\circ}$ , отсюда:
$\angle DBA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}$
Это ответ.