Доказать, что

Обозначим

$A=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ - (это число действительное, как сумма действительных чисел, корень кубический из любого действительного числа - число действительное, корень квадратный с положительного число - действительное число)

Возведем в куб (пользуясь формулой куба двучлена в виде $(x+y)^3=x^3+3(x+y)xy+y^3$ )

, получим

$A^3=(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3=\\\\ (\sqrt[3]{9+\sqrt{80}})^3+3*(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})*\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}*\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}+(\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3=\\\\ 9+\sqrt{80}+3*A*\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}+9-\sqrt{80}=\\\\ 18+3*A*\sqrt[3]{(9^2-(\sqrt{80})^2}=\\\\ 18+3*A*\sqrt[3]{81-80}=\\\\ 18+3A*1=18+3A$

откуда получили что для данного А, справедливо уравнение(решим его)

$A^3=18+3A;\\\\A^3-3A-18=0;\\\\A^3-3A^2+3A^2-9A+6A-18=0;\\\\A^2(A-3)+3A(A-3)+6(A-3)=0;\\\\(A-3)(A^2+3A+6)=0$

откуда либо А-3=0, А=3 - действительное число

либо $A^2+3A+6=0; D=3^2-4*6=9-24=-15<0$ - уравнение действительных корней не имеет,

значит А=3, т.е.

$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$ , что и требовалось доказать