Юрий Бережко родился и вырос в Комсомольске-на-Амуре, начинал играть под руководством своего отца Виктора Фёдоровича[1]. Волейбольное образование продолжил вЯрославле, куда переехал в 16-летнем возрасте. В 2002 году начал привлекаться к играм «Нефтяника» в Суперлигеи был приглашён в молодёжную сборную России, в составе которой в августе того же года играл на чемпионате Европы в Польше, а спустя год — на чемпионате мира в Тегеране.
Летом 2004 года подписал контракт со столичным «Динамо»[2]. Не всегда попадая в стартовый состав московской команды, Юрий Бережко тем не менее обратил на себя внимание главного тренера сборной России Зорана Гаича, включившего молодого доигровщика в заявку наЕвролигу-2005. Дебют Юрия в сборной состоялся 25 июня2005 года в матче с командой Финляндии (3:1)[3]. Следующий вызов в сборную случился через год и был во многом вынужденным: на чемпионате мира необходимо было заменить травмированного Сергея Тетюхина, однако в Японии Бережко не получил большой игровой практики.
Зато новой возможностью закрепиться в стартовом составе национальной команды Юрий распорядился блестяще. К решающим матчам Мировой лиги 2007 года в командеВладимира Алекно, потерявшей из травмы опытного Павла Абрамова, осталось только два доигровщика — Бережко иАлександр Корнеев. Молодые волейболисты, никогда прежде в таких ответственных поединках не игравшие, мужественно выдержали приём, а Юрий также был признан лучшим нападающим «Финала шести» в Катовицах. В сентябре того же года по итогам чемпионата ЕвропыБережко вновь получил приз лучшему нападающему, показав самую высокую на турнире эффективность в атаке (60 %). Вернувшись в «Динамо», он был выбран капитаном команды, а в конце года в составе сборной выступил наКубке мира в Японии, где, как и на двух предыдущих турнирах национальной команды, завоевал серебряную медаль[4].
В сборной России образца 2008 года Бережко, как правило, входил в игру с замены и выиграл бронзовые медали Мировой лиги и Олимпийских игр в Пекине[5], а в 2009-м практически на все игры выходил в стартовой шестёрке и стал лидером команды по количеству набранных за сезон очков (274 в 27 матчах). На чемпионате Европы в Турции, где сборная России заняла четвёртое место, Юрий Бережко выиграл приз лучшему подающему, исполнив в 8 матчах 12 подач навылет (0,44 эйса в среднем за партию). Годом ранее он отметился в этом элементе в одном из матчей российской Суперлиги с казанским «Зенитом», когда на его подачах в третьем сете, ставшем последним в матче, счёт из 13:16 превратился в 24:16[6].
В мае 2010 года Юрий Бережко подписал контракт с итальянской «Моденой»[7]. В сезоне-2010/11 сыграл за «Модену» в 31 матче Серии A1, набрав в них 278 очков[8]. Его команда заняла пятое место в регулярном чемпионате, а в полуфинальной серии плей-офф проиграла «Трентино» со счётом 2—3. Вернувшись в Россию, Бережко перенёс операцию на коленях, после которой прошёл длительный восстановительный период и, будучи включённым в заявку сборной России на Мировую лигу-2011, не провёл в её составе ни одного матча. В августе 2012 года в составе сборной России стал чемпионом Олимпийских игр в Лондоне. Всего в период с 2005 по 2012 год Юрий Бережко сыграл за национальную команду 124 матча.
С 2011 года выступал за казанский «Зенит»[9], весной 2012 года стал победителем чемпионата России и Лиги чемпионов. В сезоне-2013/14 защищал цвета краснодарского «Динамо»[10], по его окончании вернулся вмосковское «Динамо», подписав со столичным клубом контракт сроком на два года[11]. В январе 2016 года Юрий Бережко возобновил выступления за сборную России. Его выход на замену в финальном матче европейского отборочного турнира в Берлине против французов помог российской команде одержать волевую победу и завоевать путёвку на Олимпийские игры в Рио-де-Жанейро