Если натуральное число N меньше суммы трех его наибольших натуральных делителей (исключая...

Question

Если натуральное число N меньше суммы трех его наибольших натуральных делителей (исключая само число N), то обязательно а) N делится на 4 б) N делится на 7 в) N делится на 5 г) N делится на 6 д) Таких N не существует

Answer 1

Есть натуральное число N. 
Чтобы получить наибольший делитель, нужно число N разделить на наименьший делитель: 1, 2, 3, 4, 5,....
Так как N/1 = N исключено в условии, то наибольшими делителями в лучшем случае будут N/2, N/3, N/4. Сумма удовлетворяет условию
 
Если один из наименьших делителей 2,3,4 заменить следующим (5), то сумма перестанет удовлетворять условию

Любое следующее увеличение наименьшего делителя ведет к уменьшению суммы наибольших делителей, которая будет меньше числа N, что не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, число N будет меньше суммы его наибольших делителей только в том случае, если эти делители  N/2, N/3, N/4, т.е. число N обязательно делится на 4, обязательно делится на 6. 
Наименьшее такое число   N=12  не делится на 5 и на 7
12 < 13 = 6 + 4 + 3    

Ответ: а) N делится на 4;  г) N делится на 6