Для сторон четырехугольника АВСD, описанного около окружности, выполнены соотношения: АВ...

Так как четырёхугольник описан около окружности,то суммы противоположных сторон равны:
AB+CD=BC+AD,следовательно периметр четырёхугольника будет равен 2(AB+CD) или 2(BC+AD);
Из отношений сторон:
AB=4x;BC=5x;AD=2y;CD=3y
Составим систему:
$\left \{ {{AB+BC+CD+AD=84} \atop {2(AB+CD)=84}} \right. =\ \textgreater \ \left \{ {{4x+5x+3y+2y=84} \atop {2(4x+3y)=84}} \right. =\ \textgreater \ \\ =\ \textgreater \ \left \{ {{9x+5y=84} \atop {4x+3y=42}} \right. =\ \textgreater \ \left \{ {{9x+5 \frac{42-4x}{3} =84} \atop {y= \frac{42-4x}{3} }} \right. =\ \textgreater \ \left \{ {{27x+210-20x=252} \atop {y= \frac{42-4x}{3}}} \right. =\ \textgreater \ \\ =\ \textgreater \ \left \{ {{7x=42} \atop {y= \frac{42-4x}{3}}} \right. =\ \textgreater \ \left \{ {{x=6} \atop {y=6}} \right.$
Найдём каждую сторону:
AB=4*6=24
BC=5*6=30
AD=2*6=12
CD=3*6=18
Меньшая сторона -- AD -- равна 12.