1) Пусть АВСД - равнобедренная трапеция, в которой АД=а, ВС = b
Проведем высоту ВН
Если в четырехугольник вписана окружность, значит
АВ+СД = а+b, так как АВ=СД , то 2АВ =(а+b), АВ =(а+b)/2
АН = (а-b)/2
Из треугольника АВН: по теореме Пифагора
ВН² = ((а+b)/2)²-((а-b)/2)²
ВН² =((а+b-a+b)/2)*((а+b+a-b)/2)=(4ab)/4=ab
BH =√ab
Радиус вписанной окружности в равнобедренной трапеции R=1/2h,
где h - высота трапеции
значит R=√ab/2, что и требовалось доказать