Для начала, на мой взгляд, лучше переписать это четверостишие одной строкой, чтобы было легче видеть структуру:
То не буря соколов несёт за поля широкие и долы, то не стаи галочьи летят к Дону на великие просторы!
Это предложение — сложносочинённое, двусоставное, распространённое: первая грамматическая основа — «не буря соколов несёт», а вторая основа — «не стаи галочьи летят».