Решите уравнение и рассмотрим, как отдельные ф-ии. Ф-я возрастающая и имеет смысл при...

Question

33 просмотров

Решите уравнение
$\sqrt{x} + x^{2} =18$
$\sqrt{x}$ и $x^{2}$ рассмотрим, как отдельные ф-ии. Ф-я
$y=\sqrt{x}$ возрастающая и имеет смысл при x>=0, y=x^2 тоже возрастающая ф-я. По св-ву монотонных ф-ий функция y=√x+x^2 возрастающая. Значит корень у такой ф-ии один.
В данном случае подходит x=4.
Ответ: x=4

Алгебра Неуловимыйтип_zn (2.0k баллов) 24 Апр, 18 | 33 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\sqrt x+x^2=18$

ОДЗ: $x\geqslant0$

$\sqrt x=t, \ \ t\geqslant0\\\\ t+t^4=18\\\\ t^4+t-18=0$

Рассмотрим целые числители свободного члена 18:

$\pm1;\pm2;\pm3;\pm6;\pm9;\pm18$

Подставляем в уравнение по порядку, пока не найдем нужное нам число.

$t=1& \Rightarrow&1+1-18\neq0\\ t=-1 &\Rightarrow&1-1-18\neq0\\ t=2&\Rightarrow&16+2-18=0$

$\boxed{t_1=2}$ является корнем

Значит,

$(t^4+t-18):(t-2)$ делится без остатка

Делим в столбик:

$\arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrrr@{\,}r|l} t^4&&&+t&-18&&\,t-2\\ \cline{7-7} t^4&-2t^3&&&&&\,t^3+2t^2+4t+9\\ \cline{1-2} &2t^3&+t&-18&\,\\ &2t^3&-4t^2&&\\ \cline{2-3} &&4t^2&+t&-18\,\\ &&4t^2&-8t&\\ \cline{3-4} &&&9t&-18\,\\ &&&9t&-1\\ \cline{4-5} &&&&0\\ \end{array}$

$t_4+t-18 \Longrightarrow(t-2)(t^3+2t^2+4t+9)=0$

Ищем целочисленные корни кубического многочлена:

$t^3+2t^2+4t+9$

$9: \ \pm1; \pm3;\pm9$

$\pm1$ мы проверяли, не подходило

$t=3\Rightarrow 27+2\cdot9+4\cdot3+9\neq0$

Вообще, очевидно, что $t\ \textgreater \ 0$ не подходит сразу, поэтому $t=9$ не проверяем.

$t=-3\Rightarrow-27+2\cdot9-12+9=-12\neq0\\\\ t=-9\Rightarrow(-9)^3+2\cdot(-9)^2-4\cdot9+9=-729+162-36+9\neq0$

Таким образом, целочисленных решений нет, а дробные не подходят в начальном уравнении

$t=2\Rightarrow x=t^2=\boxed{4}$

Исследуем графически:

$\sqrt x+x^2=18\\ \sqrt x=18-x^2$

График прилагается

Решением является $x=4$

Ответ: $x=4$

бабаУля_zn (4.5k баллов) 24 Апр, 18