Основа равнобедренного треугольника равна 10см , а боковая сторона равна 13см . Найти...

Question

40 просмотров

Основа равнобедренного треугольника равна 10см , а боковая сторона равна 13см . Найти высоту треугольника , проведеную к боковой стороне.

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 10см , а бічна сторона дорівнює 13. Обчислити висоту трикутника , проведену до бічної сторони

Если можно , с объяснением , пожалуйста.

Математика Yakuban2_zn (12 баллов) 24 Апр, 18 | 40 просмотров

Дан 1 ответ

Интереcующийся_zn · Answer 1 · 2018-04-24T17:35:05+0000

Проведем к основанию $AC$ равнобедренного треугольника $\triangle ABC$ медиану $BM$ (так как она медиана, то проходит из вершины $B$ в серидину $AC$ и делит $AC$ пополам). Существует свойство, что медиана равнобедренного треугольника (а $\triangle ABC$ по условию равнобедренный), проведенная к основанию также является и высотой. Отсюда $\angle AMB = 90^{\circ}$ .
Рассмотрим теперь $\triangle AMB$ , он прямоугольный, как мы только что выяснили, один из его катетов нам известен — $AM = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .
Найдем второй катет по теореме Пифагора:
$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{144}=12$
Отлично. Теперь найдем $sin \angle A$ , это очень пригодится нам в дальнейшем. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае противолежащий углу $\angle A$ катет — $BM$ , а гипотенуза — $AB$ . Тогда $sin \angle A$ найдем как:
$\sin \angle A = \frac{BM}{AB} = \frac{12}{13}$ .
Отлично! Все построения, описанные до этого момента вы можете увидеть на первом рисунке (он приложен к ответу, его можно найти в самом низу).
==========
Теперь построим ту ситуацию, которая описана в задаче. Увидеть эти построения вы можете на втором рисунке.
Рассмотрим $\triangle AHC$ . Он прямоугольный, так как $AH$ — высота по условию. Известна гипотенуза $AC$ , необходимо найти катет $AH$ .
Вот здесь нам и понадобится $sin \angle A$ . Напомню, что $\triangle ABC$ — равнобедренный, а значит углы при основании равны ( $\angle A = \angle C$ ), а значит и их синусы тоже равны! То есть $\sin \angle C = \sin \angle A = \frac{12}{13}$ . Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В $\triangle AHC$ противолежащий углу $\angle C$ катет — $AH$ , а гипотенуза $AC$ . Отсюда:
$\sin \angle C = \frac{AH}{AC}$
Также нам известно, что $\sin \angle C = \frac{12}{13}$
Отсюда:
$\frac{12}{13} = \frac{AH}{AC}$
Отсюда выразим искомый катет $AH$ :
$AH = \frac{12}{13}*AC$
$AC = 10 \\ AH = \frac{120}{13} \approx 9.23$
Это ответ.