1.
а) x^2-4x-5<0<br>находим корни: D=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36
x₁=(4-6)/2=-1
x₂=4+6/2=5
Парабола пересекает ось ОХ в двух точках, а это значит что часть параболы расположена ниже оси ОХ.
Ветви параболы направлены вверх так как а=1>0, значит функция будет отрицательной на промежутке (-1;5)
б)3x^23x^2-x<0<br>находим корни:
3x^2-x=0 x(3x-1)=0 x₁=0 x₂=1/3
Ветви параболы направлены вверх (а=3>0), пересекает ось ОХ в двух точках, значит часть находится ниже оси ОХ. Неравенство выполнится на промежутке (0;1/3)
в) x^2≤16
x^2-16≤0
x^2-16=0 - разность квадратов
(x-4)(x+4)=0
корни уравнения x₁=4 x₂=-4
Парабола пересекает ось ОХ в двух точках и ветви её направлены вверх (а=1>0).
Неравенство выполнится на промежутке [-4;4].
2.
(7-x)/(4x+6)<0<br>Решаем уравнение
(7-x)/(4x+6)=0
7-х=0 х=7
4х+6≠0 4х≠-6 х≠-3/2
Отмечаем точки на координатной прямой, получили три интервала. Берём любое число из самого правого интервала, т. е. правее 7, например 8 и находим знак функции на этом интервале
(7-8)/(4*8+6)=-1/38. Функция отрицательна, можем отметить знаки на остальных интервалах, не забывая что при переходе через корень знак меняется (надо начертить, тогда будет наглядно видно). Получим интервалы (-∞;-3/2) (-3/2;7) (7;∞)
- + -
Нас интересуют только те интервалы где функция отрицательна
х∈(-∞;-3/2)∪(7;∞), неравенство строгое поэтому 7 и -3/2 не входят.
б) (x-4,5)/(9+2x)≥0
решаем уравнение
(x-4,5)/(9+2x)=0
x-4,5=0 x=4,5
9+2x≠0 2x≠-9 x≠-4,5 - знаменатель дроби не может быть равен 0.
На координатной прямой отмечаем точки.
Получили три интервала (-∞;-4,5) (-4,5;4,5] [4,5;∞)
Подставляем любое число из правого интервала, например 5 и находим знак на этом интервале
(5-4,5)/(9+2*5)=-0,5/19, то есть на правом интервале функция отрицательная, значит на среднем - положительная, а на левом - отрицательная. Нас интересует положительная
x∈(-4,5;4,5]
в) (2x^2+4x)(3x-x^3)/(2x+5)^3≤0
(2x^2+4x)(3x-x^3)/(2x+5)^3=0
находим корни
2х^2+4x=0 2x(x+2)=0 x₁=0 x₂=-2
3x-x^3=0 x(3-x^2)=0 x=0 x^2=3 x₃=√3 x₄=-√3
(2x+5)^3≠0 2x+5≠0 2x≠-5 x₅≠-2,5
Получили пять корней, отметим их на координатной прямой и найдём знак функции на самом правом интервале
Возьмём например точку 2
(2*2^2+4*2)(3*2-2^3)/(2*2+5)=16*(-2)/9 уже видно что значение будет отрицательным
Расставим знаки на промежутках, получим - + - + - +
Нас интересуют только те промежутки где значения функции отрицательны
x∈(-∞;-2,5)∪[-2;-√3]∪[0;√3]