ОТДАЮ ВСЕ, ЧТО ЕСТЬ!!!!! Докажите, что число а в степени 2k и все это минус 1 делится **...

Question

ОТДАЮ ВСЕ, ЧТО ЕСТЬ!!!!! Докажите, что число а в степени 2k и все это минус 1 делится на (а в степени 2) - 1

Answer 1

Известна формула для разности натуральных степеней двух чисел:
x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2) * y + x^(n-3) * y^2 + .... + x * y^(n-2) + y^(n-1))
Из нее следует, что a^(2k) - 1 разлагается на множители:
 a^(2k) - 1 = (a^2)^k - 1 = (a^2 -1)((a^2)^(k-1) + (a^2)^(k-2) + .... + (a^2)^ + 1).
Отсюда следует, что a^(2k) - 1 делится на a^2 - 1.