Дано уравнение
x4−5=0x4−5=0
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
x4−−√4=5√4x44=54
x4−−√4=−15√4x44=−154
или
x=5√4x=54
x=−5√4x=−54
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
x = 5^1/4
Получим ответ: x = 5^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
x = -5^1/4
Получим ответ: x = -5^(1/4)
или
x1=−5√4x1=−54
x2=5√4x2=54
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
z=xz=x
тогда ур-ние будет таким:
z4=5z4=5
Любое комплексное число можно представить так:
z=reipz=reip
подставляем в уравнение
r4e4ip=5r4e4ip=5
где
r=5√4r=54
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
e4ip=1e4ip=1
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
isin(4p)+cos(4p)=1isin(4p)+cos(4p)=1
значит
cos(4p)=1cos(4p)=1
и
sin(4p)=0sin(4p)=0
тогда
p=πN2p=πN2
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
z1=−5√4z1=−54
z2=5√4z2=54
z3=−5√4iz3=−54i
z4=5√4iz4=54i
делаем обратную замену
z=xz=x
x=zx=z
Тогда, окончательный ответ:
x1=−5√4x1=−54
x2=5√4x2=54
x3=−5√4ix3=−54i
x4=5√4i