1) Тангенс угла наклона касательной к некой функции в некой точке равен значению производной этой функции в данной точке.
f(x) = (6*x - x^3 + 4*x^5)^(1/2)
f'(x) = (1/2)* ((6 - 3*x^2 + 20*x^4)/(6*x - x^3 + 4*x^5)^(1/2))
f'(1) = 23/6 = 3.8(3)
2) y = (x - 2)(1 - x)/(x^2) = (- x^2 - 2 + 3x)/(x^2) =
= -1 - 2/x^2 + 3/x
y' = 4/x^3 - 3/x^2 = (4 - 3*x)/x^2
+ + -
-------- 0 ----- 4/3 ----------
От минус бесконечности до нуля непрерывно возрастает, потом от нуля до 4/3 аналогично, а после монотонно убывает.
3) y = x^3 + 3*x^2 - 9x
y' = 3*x^2 + 6x - 9
y' = 0
x^2 + 2x - 3 = 0
x1 + x2 = -2
x1 * x2 = -3
x1 = 1, x2 = -3
+ - +
----- -3 ------ 1 -------
x = -3 - максимум, x = 1 - минимум
4) f(x) = 2*cos(x) + x
f'(x) = -2*sin(x) + 1
f'(x) = 0
sin(x) = 1/2
на заданном промежутке [-pi/3 pi/3] решение единственно и равно
x = pi/6
+ -
-pi/3 ----- pi/6 ------ pi/3
x = pi/6 - точка локального максимума, надо еще проверить концы отрезка
f(-pi/3) = f(pi/3) = 0
Т.о. наименьшее значение на заданном интервале = 0, а наибольшее = корень из 3 + pi/6
5) a*b = 9
a + b -> min
a = 9/b
y(b) = 9/b + b
y'(b) = -9/b^2 + 1
y'(b) = 0
-9/b^2 + 1 = 0
b1 = 3, b2 = -3
+ - +
------ -3 ------ 3 ------
По условию рассматривается положительная полуплоскость, где b = 3 - точка локального минимума.
a = 9/3 = 3
3 и 3 - искомые числа.