Номер 334 пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Найти наибольший член в разложении бинома $( \sqrt{5} + \sqrt{2} )^{20}$

Разложение бинома можно записать в виде: $(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$
Чтобы найти наибольший член разложения рассмотрим отношение последующего члена разложения к предыдущему. Пока такое отношение больше 1 - последующее слагаемое больше предыдущего, как только это отношение станет меньше 1, то максимальный член найден (им является "последующий" член для последнего отношения, большего 1).

Запишем в общем виде отношение последующего члена разложения к предыдущему:
$\dfrac{x(k)}{x(k-1)} = \dfrac{C_n^{k}a^{n-k}b^{k}}{C_n^{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}} = \dfrac{C_n^{k}}{C_n^{k-1}} \cdot \dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-(k-1)}b^{k-1}} = \\\ =\dfrac{ \frac{n!}{k!(n-k)!} }{ \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} } \cdot \dfrac{a^{n-k}b^{k}}{a^{n-k+1}b^{k-1}} = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{(k-1)!(n-k+1)! }{ k!(n-k)! } = \\\ =\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{(k-1)!(n-k+1)(n-k)! }{ k(k-1)!(n-k)! } = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{n-k+1 }{ k }$

По условию: $a= \sqrt{5}$ ; $b= \sqrt{2}$ ; $n=20$ . Тогда:
$\dfrac{x(k)}{x(k-1)}=\dfrac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5} }\cdot \dfrac{20-k+1 }{ k } =\dfrac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5} }\cdot \dfrac{21-k }{ k } =\dfrac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5} }\cdot \left(\dfrac{21 }{ k } -1\right)$

Найдем при каких k последующий член больше предыдущего:
$\dfrac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5} }\cdot \left(\dfrac{21 }{ k } -1\right)\ \textgreater \ 1 \\\\ \dfrac{21 }{ k } -1\ \textgreater \ \dfrac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{2} } \\\\ \dfrac{21 }{ k } -1\ \textgreater \ \dfrac{ \sqrt{10} }{ 2} \\\\ \dfrac{21 }{ k } \ \textgreater \ \dfrac{ \sqrt{10} }{ 2}+1 \\\\ \dfrac{21 }{ k } \ \textgreater \ \dfrac{ 2+\sqrt{10} }{ 2} \\\\ \dfrac{42 }{ k } \ \textgreater \ 2+\sqrt{10} \\\\ \dfrac{k }{ 42 } \ \textless \ \dfrac{1}{2+\sqrt{10} } \\\\ k \ \ \textless \ \dfrac{42}{2+\sqrt{10} }$
$k \ \ \textless \ \dfrac{42(2-\sqrt{10})}{(2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10}) } \\\ k \ \textless \ \dfrac{84-42\sqrt{10}}{4-10} \\\ k \ \textless \ - \dfrac{84-42\sqrt{10}}{6} \\\ k \ \textless \ - (14-7\sqrt{10}) \\\ k \ \textless \ 7\sqrt{10}-14 \ ( \sqrt{10} \approx3.16\Rightarrow 7\sqrt{10}-14 \approx8.12) \\\ k\ \textless \ 8.12$

Учитывая, что k - целые числа, получаем, что наибольший член разложения при k=8. Подставляем k=8:
$x_{\max}=C_{20}^8( \sqrt{5} )^{20-8}\cdot( \sqrt{2} )^8= \frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8} \cdot( \sqrt{5} )^{12}\cdot( \sqrt{2} )^8= \\\ = 19\cdot17\cdot15\cdot2\cdot13 \cdot5^6\cdot2^4= 19\cdot17\cdot13 \cdot5^7\cdot3\cdot2^5=31492500000$

Ответ: 31492500000

Artem112_zn (271k баллов) 25 Апр, 18