C3:

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Прикинем, какие ограничения есть на x. Выражение под корнем должно быть неотрицательно:
$x^2+2x-3\geqslant 0\\ x\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$

В основании логарифма должно стоять положительное число, не равное 1, поэтому с учётом полученного ранее неравенства выполняется соотношение x > 1.

При таких иксах 0" alt="\log_x4>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> и на правую часть можно поделить. Пользуясь известной формулой перехода к новому основанию, переписываем полученное в виде
$\log_4(\sqrt{x^2+2x-3}+2)\log_5(x^2+2x-2)\geqslant 1$

Как устроена функция из левой части неравенства? При x > 1 она возрастает, вблизи x = 1 значения близки к нулю (уж точно меньше правой части), поэтому решение неравенства - множество $[x_0,+\infty)$ , где $x_0$ - значение, при котором неравенство обращается в равенство. Таким образом, остаётся лишь каким-то образом найти решение уравнения
$\log_4(\sqrt{x^2+2x-3}+2)\log_5(x^2+2x-2)=1$

Каких-то хороших способов решить такое уравнение мне в голову не пришло, поэтому корень просто угадаю. Представим, что аргумент второго логарифма равен 5. Тогда аргумент второго логарифма окажется равным $\sqrt{5-1}+2=4$ , и произведение окажется равным $\log_44\cdot\log_55=1$ , как и требуется.

Теперь всё свелось уж к совсем простому: необходимо найти такое x > 1, при котором $x^2+2x-2=5$ . Это $x=2\sqrt2-1$ .

Ответ. $[2\sqrt2-1,+\infty)$

nelle987_zn (148k баллов) 25 Апр, 18