Сплошная тригонометрия.
1. Примем угол α=30°. Тогда угол (α/2)=15°.
Пусть в прямоугольном треугольнике острый угол (α/2)=15° будет против катета b. Тогда с=b/sin(α/2) и, следовательно, c²=b²/Sin²(α/2).
Соответственно катет a=b*ctg(α/2).
Произведение катетов a*b=b²*ctg(α/2).
По формулам приведения:
Sin²(α/2)=(1-Cosα)/2. ctg(α/2)=Sinα/(1-Cosα).
Тогда a*b=b²*Sinα/(1-Cosα),
с²=b²/(1-Cosα)/2.
с²/ab=(2b²/(1-Cosα))/(b²*Sinα/(1-Cosα))=2b²*(1-Cosα)/[(1-Cosα)*(b²*Sinα)] = 2/Sinα.
Принимая во внимание, что у нас принят угол α=30° и Sinα=1/2, имеем: с²/ab=4. Что и требовалось доказать.
2. Исходя из изложенного выше, имеем: с²=b²/(1-Cosα)/2, а площадь нашего треугольника S=(1/2)a*b=(1/2)*b²*Sinα/(1-Cosα).
Тогда S/c²=[(1/2)*b²*Sinα/(1-Cosα)]/[b²/(1-Cosα)/2]=Sinα/4. Sinα=Sin30=1/2. Значит S/c²=1/8, что и требовалось доказать.