Найти промежутки возрастания и убывания функции : 1)f(x)=x*e^x 2)f(x)=x*lnx

$1)f(x)=x*e^x\\f'(x)=e^x+x*e^x\\\\e^x+x*e^x=0\\e^x(1+x)=0$

$e^x$ не может равняться нулю, поэтому остаётся только один множитель:

$1+x=0\\x=-1.$

Значит, экстремум — в точке −1. Теперь по методу интервалов найдём, что функция возрастает на промежутке $[-1;+\infty)$ , а убывает — на промежутке $(-\infty;-1].$

2)
$f(x)=x\ln x\\f'(x)=\ln x + \frac{1}{x} *x=\ln x+1$

$\ln x+1=0\\ \ln x+ \ln e=0\\\ln (ex)=0\\ex=1\\x=1/e.$

Прикольная функция, да)

Итак, экстремум — в точке $1/e$ . По методу интервалов получится, что функция возрастает на промежутке $[1/e ;+\infty)$ , а убывает — на промежутке (внимание! у нас же логарифм, поэтому ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$ ) $(0;1/e]$ .