Дана трапеция ABCD с основаниями AD= a и BC = b. Точки M и N лежат ** сторонах AB и CD...

Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD= a и BC = b. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причем отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны. Помогите пожалуйста!в ответах написано, что будет корень из ab...

Answer 1

Докажем сначала, что прямые MC и AN параллельны. 

MOA и CON (см. рис.) треугольник AON , получим, что треугольникиAMN и ACN AN , а M и C  AN . А поскольку они, очевидно, лежат по одну сторону от этой прямой, прямые MC и ANпараллельны. 
Продолжим решение задачи. Имеем две пары подобных треугольников (по трём углам): Δ MCNΔ AND (а значит, AD:MN=AN:MC ) и Δ MCBΔ ANM (откуда, в свою очередь, AN:MC=MN:BC ). , 

откуда получаем 

MN2=AD· BC=ab,