Площадь равна интегралу (-x²-2x-1)- (-x-3) = -х² - х +2.
∫(-х² - х +2)dx = (-x³/3)-(x²/2) + 2x.
Найдём границы фигуры по оси х.
Приравняем -x² - 2x - 1 = -x - 3,
-x² - x + 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*(-1)*2=1-4*(-1)*2=1-(-4)*2=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√9-(-1))/(2*(-1))=(3-(-1))/(2*(-1))=(3+1)/(2*(-1))=4/(2*(-1))=4/(-2)=-4/2=-2;x_2=(-√9-(-1))/(2*(-1))=(-3-(-1))/(2*(-1))=(-3+1)/(2*(-1))=-2/(2*(-1))=-2/(-2)=-(-2/2)=-(-1)=1.
Получили 2 точки х = -2 и х = 1.
Подставляем пределы в интеграл:
(-x³/3)-(x²/2) + 2x|(-2;1)= (-1/3)-(1/2)+2 - (8/3)-(4/2)-4) =
(7/6)-(-20/6) = 27/6 = 9/2 = 4,5.