Периметр прямоугольного треугольника равен 40, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть данный треугольник АВС, угол С=90º, АВ - гипотенуза.
Обозначим точку касания окружности с АВ - К, с ВС -Н, с АВ - М.
По свойству отрезков касательных из одной точки до точек касания
АК=КМ, МВ=НВ, КС=НС.
Примем АК=у, НВ=х
Тогда АС=АК+КС=у+3,
ВС=ВН+СН=х+3.
АВ=х+у
Р=у+3+х+3+х+у
2х+2у+6=40 ⇒
х+у=17 ⇒
АВ=17
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.
R=17:2=8,5 (ед. длины)
------
Можно найти и катеты треугольника.
ВМ=х
АМ=17-х
АС=17-х+3=20-х
ВС=х
По т.Пифагора АВ²=АС²+ВС²
289=400-40х+х²+х²+6х+9 Приведя подобные члены и сократив на 2, получим квадратное уравнение
х²-17х+60=0
Решив уравнение, найдем два корня, и оба подходят.
х1=12, х2=5
ВС=5+3=8,
АС=20-5=15
