F(x)=3x²-x³ дослідити функцію

$y=3x^2-x^3$

1.
$D(f)=\mathbb R$ - нет вертикальных асимптот

$f(-x)=3(-x)^2-(-x)^3=3x^2+x^3 \\\\ f(-x)\neq -f(x); \ f(-x)\neq f(x)$

Функция ни четная, ни нечетная

2.
$k= \lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm\infty} \frac{3x^2-x^3}{x}=\lim_{x\to \pm\infty} \frac{3x^2}{x}- \frac{x^3}{x}=\\\\ =\lim_{x\to \pm\infty}(3x-x^2)=-\infty$
нет наклонных асимптот

$k=\lim_{x\to \pm\infty}(3x^2-x^3)=\mp\infty$
идем вправо - уходим далеко вниз
идем влево - уходим далеко вверх

$E(f)=\mathbb R$

3.
$y=f(0)=3\cdot0^2-0^3=0\\\\ 3x^2-x^3=0\\ x^2(3-x)=0\\ x^2=0\\ x=0\\\\ 3-x=0\\ x=3$

Точки пересечения с осями

4.
$f(x)=3x^2-x^3\\ f'(x)=(3x^2-x^3)'=6x-3x^2$

$6x-3x^2=0\\ 3x(2-x)=0\\ 3x=0\\ x=0\\\\ 2-x=0\\ x=2$

__-__0__+__

$(-\infty;0)\bigcup(2;+\infty)$ убывает
$(0;2)$ возрастает

$f(0)=3\cdot0^2-0^3=0$ точка минимума
$f(2)=3\cdot2^2-2^3=4$ точка максимума

5.
$f''(x)=(6x-3x^2)'=6-6x\\\\ 6-6x=0\\ x=1$

__+__1__-__

$(-\infty;1)$ вогнутая
$(1;+\infty)$ выпуклая

$f(1)=3\cdot1^2-1^3=2$ точка перегиба

График прилагается