Найдите при каких значениях переменной а уравнение |х^2-2х-3|=а имеет три различных...

Ну, попробую объяснить.

$|x^2-2x-3|=a$

Три корня будет тогда, когда при раскрытии модуля одним способом будет один корень (т. е. дискриминант равен нулю), а при втором способе — два корня (т. е. дискриминант больше нуля). Всего, теоретически, у нас будет два решения.

Первое решение
$1) x^2-2x-3-a=0\\x^2-2x-(3+a)=0\\D=4+4(3+a)=0\\4+12+4a=0\\4a=-16\\a=-4.\\\\2) x^2-2x-(3-a)=0\\D=4+4(3-a)\ \textgreater \ 0\\4+12-4a\ \textgreater \ 0\\-4a\ \textgreater \ -16\\a\ \textless \ 4\\$

Здесь решения нет, т. к. $a$ должно быть больше нуля (модуль ведь).

Второе решение
$|x^2-2x-3|=a\\\\ 1) x^2-2x-(3+a)=0\\D=4+4(3+a)\ \textgreater \ 0\\16+4a\ \textgreater \ 0\\4a\ \textgreater \ -16\\a\ \textgreater \ -4.\\\\2)x^2-2x-(3-a)=0\\D=4+4(3-a)=0\\16-4a=0\\4a=16\\a=4.$

Объединяя результаты, получится: a=4.

Ответ:
$a=4$

(Если интересно, как это выглядит графически, см. вложение)