Помогите решить неравенство

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$2^{1+log_3(x^2)}+2*|x|^{log_3(4)} \leq 4*( \frac{1}{2} )^{log_{1/3}(3x+4)}$
Область определения: x > -4/3; x =/= 0
x ∈ (-4/3; 0) U (0; +oo)
Преобразуем по порядку:
$2^{1+log_3(x^2)}=2*2^{2log_3(|x|)}$

$( \frac{1}{2} )^{log_{1/3}(3x+4)}=2^{-log_{1/3}(3x+4)}=2^{\frac{-lg(3x+4)}{lg(1/3)} }=2^{\frac{-lg(3x+4)}{-lg(3)}}=$
$=2^{ \frac{lg(3x+4)}{lg(3)} }=2^{log_3(3x+4)}=2^{log_3(|3x|)}*2^{log_3(4)}=$
$=2^{log_3(3)+log_3(|x|)}*2^{log_3(4)}=2^{1+log_3(|x|)}*2^{log_3(4)}=2*2^{log_3(|x|)}*2^{log_3(4)}$
Подставляем всё это в неравенство
$2*2^{2log_3(|x|)}+2*|x|^{log_3(4)} \leq 4*2*2^{log_3(|x|)}*2^{log_3(4)}$
Делим всё на 2
$(2^{log_3(|x|)})^2+|x|^{log_3(4)} \leq 4*2^{log_3(|x|)}*2^{log_3(4)}$
Делим всё на $2^{log_3(|x|)}*2^{log_3(4)}$
$\frac{2^{log_3(|x|)}}{2^{log_3(4)}} + \frac{|x|^{log_3(4)}}{2^{log_3(4)}*2^{log_3(|x|)}} \leq 4$
Сделаем замену

0" alt="2^{log_3(|x|)}=y>0" align="absmiddle" class="latex-formula">, тогда $log_3(|x|)=log_2(y); |x| = 3^{log_2(y)}$
$\frac{y}{2^{log_3(4)}} + \frac{(3^{log_2(y)})^{log_3(4)}}{2^{log_3(4)}*y} \leq 4$
Числитель второй дроби
$(3^{log_2(y)})^{log_3(4)}=(3^{log_3(4)})^{log_2(y)}=4^{log_2(y)}=(2^{log_2(y)})^2=y^2$
$\frac{y}{2^{log_3(4)}} + \frac{y^2}{2^{log_3(4)}*y} \leq 4$
Вторую дробь сокращаем на y > 0
$\frac{y}{2^{log_3(4)}} + \frac{y}{2^{log_3(4)}} \leq 4$
Получилось две одинаковых дроби, делим всё на 2
$\frac{y}{2^{log_3(4)}} \leq 2$
$y \leq 2*2^{log_3(4)}$
Обратная замена
$2^{log_3(|x|)} \leq 2^{1+log_3(4)}$
Основание 2 > 1, функция f(x) = 2^x возрастающая, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства не изменится.
$log_3(|x|) \leq 1+log_3(4)=log_3(3) + log_3(4)=log_3(12)$
Основание 3 > 1, функция g(x) = 3^x возрастающая, поэтому при переходе от логарифмов к числам под логарифмами знак неравенства
не изменится.
$|x| \leq 12$
С учетом области определения
x ∈ (-4/3; 0) U (0; 12]

mefody66_zn (320k баллов) 25 Апр, 18