Докажите, что для любых а≠b для функции f(x) = х^2 выполняется неравенство

$a, b &\ (a\neq b)& \ \ \ &f(x)=x^2\\\\ \ \ \ \ \ f( \frac{a+b}{2})\ \textless \ f \frac{f(a)+f(b)}{2}$

Решение (доказательство):

$f( \frac{a+b}{2})= (\frac{a+b}{2})^2= \frac{(a+b)^2}{4} \\\\ \frac{f(a)+f(b)}{2}= \frac{a^2+b^2}{2}$

что и требовалось доказать

Нужно доказать, что $\forall \ a,b\ \ (a\neq b)$

$\frac{(a+b)^2}{4}\ \textless \ \frac{a^2+b^2}{2}$

Рассмотрим верное неравенство:

$(a-b)^2\ \textgreater \ 0$ , если $a\neq b$

$a^2-2ab+b^2\ \textgreater \ 0\\\\ 2ab\ \textless \ a^2+b^2$

Добавим к обеим частям сумму $a^2+b^2$

$a^2+2ab+b^2\ \textless \ 2(a^2+b^2)\\\\ (a+b)^2\ \textless \ 2(a^2+b^2)\ \ \ |:4\\\\ \frac{(a+b)^2}{4}\ \textless \ \frac{a^2+b^2}{4}, \ \ \ \forall \ \ a\neq b$