Вершина A лежит на окружности, построенной на KN, как на диаметре. Причем лежит "слева" от центра. (тут не нужна "точность")
Уравнение этой окружности
(x + 3)^2 + (y + 3/2)^2 = 29/4; (координаты центра x0 = (-4 - 2)/2; y0 = (1 - 4)/2; радиус 4*R^2 = (4 - 2)^2 + (1 + 4)^2 = 29);
Диагональ AC делит угол A пополам (биссектриса), то есть делит ПРАВУЮ полуокружность пополам. То есть проходит через точку E (-1/2, -1/2); Найти координаты точки E проще всего так
Вектор из центра этой окружности (-3, -3/2) в точку N (-2, -4) равен (1, -5/2), перпендикулярный ему вектор, "смотрящий вправо", с концом на окружности, это (5/2, 1), я откладываю этот вектор от (-3, -3/2), и получаю точку E;
Совершенно аналогично точка C лежит на окружности
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 8; ("выше" диаметра LM) и диагональ AC пересекает "противоположную точке С" полуокружность в точке D(-1, -1), которая делит эту полуокружность пополам.
Таким образом, получены две точки, через которые проходит AC.
Уравнение прямой ED (то есть AC) получается очень простое
y = x; :)
Координаты точки C получаются элементарно C (3,3) (AC получилась перпендикулярной LM)
Если подставить y = x; в уравнение первой окружности, то
x^2 + 6x + 9 + x^2 + 3x + (3/2)^2 = 29/4;
или x^2 + 9x/2 + 2 = 0; причем известен один из корней x = -1/2; что позволяет сразу найти второй x = -4;
То есть вершина A(-4,-4);
легко видеть, что получился квадрат со стороной 7 и площадью 49;
но даже если бы "звезды" в лице составителей задачи не пытались облегчить решение, найти длину диагонали этим способом не составило бы труда, ну и соответственно, площадь тоже.