В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D -- середины сторон KL, LM, MN, NK...

Question

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D -- середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL=3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площадь четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6, 9. Найдите площадь четырехугольника MCOB.

Answer 1

 

Известно, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Значит ABCD– параллелограмм. Значит, О – середина BD.

Поскольку АО – медиана треугольника ABD, то площади треугольников АОKи АОLравны. Так как площади четырехугольников ALBOи AKDO тоже равны (=6), то и площади треугольников KOAи LOB равны. Основания этих треугольников равны (DO=OB, так как АС и BD точкой пересечения О делятся пополам), значит равны и их высоты, опущенные на эти основания. Отсюда KL|| BD.

Так как Dи В – середины отрезков LMи KN, то NM|| KL.Значит KLBD и DBMN– трапеции. Так как О и С – середины оснований трапеции DBMN, то площади DOCNи MCOBравны. Итак,  площадь четырехугольника MCOB = 9.