Ну вот сегодня что-то не вышло у меня найти "красивое геометрическое решение". Может, потом что-то в голову придет. Но тупое решение я конечно нашел, тут только на вид сложно.
Пояснения к рисунку. Стороны треугольника я обозначил буквами a, b, c, напротив стороны a по условию лежит угол ∠A = 120°; l - биссектриса этого угла. Буквами x и y я обозначил отрезки сторон от вершины A до концов биссектрис. Стороны треугольника с вершинами в концах биссектрис я обозначил, как k, m, n;
Нужно доказать, что k^2 = m^2 + n^2; тогда треугольник - прямоугольный.
По ходу решения понадобится выразить длину биссектрисы через стороны, я для этого воспользуюсь вот чем.
2*S = bc*sin(A) = bl*sin(A/2) + cl*sin(A/2);
l = 2bc*cos(A/2)/(b + c) = bc/(b + c);
Длины отрезков x и y также легко найти, и они очень похожи на l
x = bc/(a + b); y = bc/(a + c); это элементарно находится из свойства биссектрисы. Теперь можно приступить к решению.
Из теоремы косинусов легко найти
k^2 = x^2 + y^2 + xy;
m^2 = l^2 + x^2 - xl;
n^2 = l^2 + y^2 - yl;
Кроме того, для всего треугольника тоже есть связь
a^2 = c^2 + b^2 + bc;
Легко видеть, что надо доказать, что
2l^2 = xl + yl + xy;
или
2/(b+c)^2 = 1/(b+c)(a+b) + 1/(a+c)(b+c) + 1/(a+b)(a+c);
или (что тоже самое, все преобразования - обратимы)
2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2;
Если будет доказано это, то, делая обратные манипуляции, можно показать, что для k, m, n выполняется теорема Пифагора, что и нужно.
Но последнее соотношение легко получить из
a^2 = c^2 + b^2 +cb; =>
a^2 + ab + ac + bc = c^2 + b^2 + 2cb + ab + ac; =>
(a + b)(a+c) = (b+c)(a + b + c); =>
2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; откуда следует
k^2 = m^2 + n^2; и треугольник прямоугольный.
