Точка М одинаково удалена от всех вершин правильного треугольника АВС и от его плоскости...

Находим высоту (она же биссектриса и медиана) основания:

$\sqrt{(8\sqrt3)^2-(4\sqrt3)^2}=\sqrt{192-48}=\sqrt{144}=12$ см

Далее вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины (нам нужна 1/3), находим апофему боковой грани:

$\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ см

Искомое расстояние (ребро пирамиды):

$\sqrt{(4\sqrt5)^2+(4\sqrt3)^2}=\sqrt{80+48}=\sqrt{128}=8\sqrt2$ см