Докажите, что при любых значениях переменной верно данное неравенство. x²+12x>-36

Будем исходить от обратного. Пусть есть такие значения, при которых $x^2+12x< -36$ . Попробуем найти противоречия.

$x^2+12x<-36$
$x^2+12x+36<0$
$(x+6)^2<0$

Но выражение, стоящее под квадратом, не может быть отрицательным. Значит, исходная посылка была верной.