Помогите решить,пожалуйста! Неравенство:sin4x-cos4xctg2x<корень из трёх.Помогите хотя бы...

Question

Дан 1 ответ

strc_zn · Answer 1 · 2018-03-10T17:31:16+0000

$sin4x-cos4x*ctg2x<\sqrt3\\ sin4x-cos4x*\frac{sin2x}{cos2x}<\sqrt3\\ \frac{sin4x*cos2x-cos4x*sin2x}{cos2x}<\sqrt3\\ \frac{2sin2x*cos^22x-cos4x*sin2x-\sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\\ \frac{2sin2x*cos^22x-(cos^22x-sin^22x)*sin2x-\sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\\ \frac{2sin2x*cos^22x-cos^22x*sin2x+sin^32x-\sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\\$

Для удобства для начала отдельно рассмотрю числитель

$2sin2x*cos^22x-cos^22x*sin2x+sin^32x-\sqrt3*cos2x=\\ =sin2x*cos^22x+sin^32x-\sqrt3cos2x=\\ =sin2x(cos^22x+sin^22x)-\sqrt3cos2x$

Заметим, что $cos^22x+sin^22x$ равно одному, это главное тригоном. тождество,
напомню, что $sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$ , только в нашем случае α=2x

Заменяем на единицу и все упрощается $sin2x-\sqrt3cos2x$

И так получили следущее

$\frac{sin2x-\sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\\ \frac{sin2x}{cos2x}-\frac{\sqrt3cos2x}{cos2x}<0\\ tg2x-\sqrt3<0\\ tg2x<\sqrt3\\ 2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}n,n\in Z$

При этом

$cos2x\neq0\\ 2x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n,n\in Z$

У нас получилось две серии корней, с периодами пи/2. поэтому на на круге будет очень много корней. Не знаю так знадумывалось ли, но придётся проверять знаки на промежутках между этими корнями. В итоге на круге будет 8 корней. Некоторая переодичность в знакопостоянстве улавливается, но не сразу и она не однозначна.

Нам нужно <0.</p>

И выходит:

$x\in(\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n)\cup(\frac{2\pi}{3}+\pi n;\pi+\pi n), n\in Z$