В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро...

Question

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а
боковое ребро АА1 равно 3 . На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М
– середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость гамма параллельна прямой АС и
содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение
данной призмы плоскостью гамма .

Answer 1

А) Сечение призмы плоскостью гамма представляет собой равнобедренную трапецию.
Так как плоскость гамма параллельна прямой АС, то линии пересечения этой плоскостью оснований призмы параллельны между собой. Пусть это будут отрезки L1L и KK1.
Так как основания призмы - правильные треугольники, то отсекаемые плоскостью гамма треугольники тоже правильные и имеют стороны по 1 и по 3 (на основании задания).

Рассечём призму плоскостью, проходящей через ребро АА1 перпендикулярно стороне АС.
Эта плоскость проходит через высоты оснований призмы и через ось трапеции В2К2 в сечении гамма .
В этой плоскости лежит заданная прямая ВМ, которая пересекает ось трапеции В2К2 в точке О.

Определим тангенсы углов наклона прямых ВМ и В2К2 к основанию призмы.
Высота основания ВМ1 равна 6*cos30° = 6*(√3/2) =3√3.
tg(BM)=3/(3√3) =1/√3.
Проекция В2К2 на основание равна (3√3/2) - (√3/2) = √3.
tg(В2К2) = 3/√3 = √3.
То есть углы составляют 30 и 60 градусов.
Отсюда вывод - прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма.

б) Высота трапеции h в сечении гамма равна:
h = √(3²+(√3)²) = √(9+3) = √12 = 2√3.
Площадь трапеции So = ((1+3)/2)*(2√3) = 4√3.
Высота заданной пирамиды H - это отрезок МО, равный ВМ - ВО.
ВМ = √(3²+(3√3)²) = √(9+27) = √36 = 6.
ВО = ВК2*cos30° = (3√3/2)*(√3/2) = 9/4.
H = 6 - (9/4) = 15/4.

Объём заданной пирамиды равен:
V = (1/3)So*H = (1/3)*(4√3)*(15/4) = 5√3.