Тригонометрические уравнения

Question 1

Question 2

1)

$cos\frac{\pi(x-49)}{21}=0,5\\\\ \frac{\pi(x-49)}{21}=\frac{\pi}{3}+2\pi k \ k \in Z \ \frac{\pi(x-49)}{21}=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ k \in Z\\ \pi(x-49)=7\pi+42\pi k \ k \in Z \ \pi(x-49)=14\pi+42\pi k \ k \in Z \\ x-49=7+42k \ k \in Z \ x-49=14+42k \ k \in Z \\ x= 56+42k \ k \in Z \ x=63 +42k \ k \in Z \\$

Соответсвенно наименьший положительный корень 56

Ответ:{56}

2)4sin^2(a)=4(1-cos^2(a)) - известный факт

$1+4sin^2\frac{\pi(x-3)}{24}+8cos\frac{\pi(x-3)}{24}=0\\ 5-4cos^2\frac{\pi(x-3)}{24}+8cos\frac{\pi(x-3)}{24}=0\\ 4cos^2\frac{\pi(x-3)}{24}-8cos\frac{\pi(x-3)}{24}-5=0\\ \\ D=8^2+4*4*5=64+80=144=12^2$

$cos\frac{\pi(x-3)}{24}=\frac{8+12}{2*4}=2,5\\ cos\frac{\pi(x-3)}{24}=\frac{8-12}{2*4}=-0,5\\$

$cos\frac{\pi(x-3)}{24}=-0,5\\ \frac{\pi(x-3)}{24}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \ k \in Z \ \frac{\pi(x-3)}{24}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ k \in Z \\ \pi(x-3)=-8\pi+48\pi k \ k \in Z \ \pi(x-3)=-16\pi+48\pi k \ k \in Z \\ x-3=-8+48k \ k \in Z \ x-3=-16+48k \ k \in Z \\ x=-5+48k \ k \in Z \ x=-13+48k \ k \in Z\\$

Наибольший отрицательный корень -5

Ответ:{-5}

3)cos(2a)=cos^2(2a)-sin^2(2a) - известный факт; ' - градус

$cos0,5x+cos0,25x=0\\ cos^20,25x+cos0,25x-sin^20,25x=0\\ 2cos^20,25x+cos0,25x-1=0\\ D=1^2+2*4*1=9=3^2$

$cos0,25x=\frac{-1+3}{2*2}=0,5\\ cos0,25x=\frac{-1-3}{2*2}=-1\\ \\ 0,25x=60'+360'k \ k \in Z\\ 0,25x=180'+360'k \ k \in Z\\ \\ x=240'+1440'k \ k \in Z\\ x=720'+1440'k \ k \in Z\\$

Наименьший положительный угол 240'

Ответ:{240'}

4)

$2sin^2X-(2+\sqrt{2})sinXcosX+\sqrt{2}cos^2X=0\\ 2sinX(sinX-cosX)-\sqrt{2}cosX(sinX-cosX)=0\\ (2sinX-\sqrt{2}cosX)(sinX-cosX)=0\\ \\ cosX=sinX\\ 2sinX=\sqrt{2}cosX\\ \\ X=45'+180'k \ k \in Z\\$

Наибольший отрицательный корень -135'

Ответ:{-135'}

Zluka98_zn · Answer 1 · 2018-03-10T18:44:27+0000

1)