Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом "отображение". 1. Отображения, образы, композиции отображений.Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственного элемента из N. Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве.
Никакие другие отображения не рассматриваются, и потому слово "отображение" означает соответствие точкам точек. О точке X соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X' = f(X) . Множество точек X соответствующих точкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается
M' = f(M) . Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M на фигуру N. Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны. Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X' множества N является образом только одной (единственной) точки
X множества M. Поэтому каждой точке X' (N можно поставить в соответствие ту единственную точку X (M, образом которой при отображении f является точка X Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.
Неподвижной точкой отображения (называется такая точка A, что ((A) = A. Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f) = f. Поэтому отображения f и f называются также взаимно обратными. Пусть заданы два отображения: отображение f множества
M в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении f точка X (N перешла в точку X' = f(X) (N, а затем X' при отображении g перешла в точку X (P, то тем самым в результате X перешла в X В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отображением g.
Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f, вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку. 2. Определение движения. Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A' и B что |A'B'| = |AB|.
Тождественное отображение является одним из частных случаев движения. Фигура F' называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением. 3. Общие свойства движения. Свойство 1 (сохранение прямолинейности) . При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется
порядок их взаимного расположения) . Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|. При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек
A B C': |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|. Таким образом, точки A B C' лежат на одной прямой, и именно точка B' лежит между A' и C Из данного свойства следуют также еще несколько свойств: Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок. Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.