осмотрим, как влияет э.д.с. самоиндукции на процесс установления тока в цепи, содержащей индуктивность.
В цепи, представленной на схеме 10.10, течёт ток. Отключим источник e, разомкнув в момент времени t = 0 ключ К. Ток в катушке начинает убывать, но при этом возникает э.д.с. самоиндукции, поддерживающая убывающий ток.
Рис. 10.10.
Запишем для новой схемы 10.10.b уравнение правила напряжений Кирхгофа:
.
Разделяем переменные и интегрируем:
Пропотенцировав последнее уравнение, получим:
.
Постоянную интегрирования найдём, воспользовавшись начальным условием: в момент отключения источника t = 0, ток в катушке I(0) = I0.
Отсюда следует, что c = I0 и поэтому закон изменения тока в цепи приобретает вид:
. (10.7)
График этой зависимости приведён на рис. 10.11. Оказывается, ток в цепи, после выключения источника, будет убывать по экспоненциальному закону и станет равным нулю только спустя t = ¥.
Рис. 10.11.
Вы и сами теперь легко покажете, что при включении источника (после замыкания ключа К) ток будет нарастать тоже по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к значению I0 (см. рис. 10.11.).
. (10.8)
Но вернёмся к первоначальной задаче размыкания цепи.
Мы отключили в цепи источник питания (разомкнули ключ К), но ток — теперь в цепи 10.8.b — продолжает течь. Где черпается энергия, обеспечивающая бесконечное течение этого убывающего тока?
Ток поддерживается электродвижущей силой самоиндукции e = . За время dt убывающий ток совершит работу:
dA = eСИ×I×dt = –LIdI.
Ток будет убывать от начального значения I0 до нуля. Проинтегрировав последнее выражение в этих пределах, получим полную работу убывающего тока:
. (10.9)
Совершение этой работы сопровождается двумя процессами: исчезновением тока в цепи и исчезновением магнитного поля катушки индуктивности.
С чем же связана была выделившаяся энергия? Где она была локализована? Располагалась ли она в проводниках и связана ли она с направленным движением носителей заряда? Или она локализована в объёме соленоида, в его магнитном поле?
Опыт даёт ответ на эти вопросы: энергия электрического тока связана с его магнитным полем и распределена в пространстве, занятом этим полем.
Несколько изменим выражение (10.9), учтя, что для длинного соленоида справедливы следующие утверждения:
L = m0n2Sl (10.5) — индуктивность;
B0 = m0nI0 (9.17) — поле соленоида.
Эти выражения используем в (10.9) и получим новое уравнение для полной работы экстратока размыкания, или — начального запаса энергии магнитного поля:
. (10.10)
Здесь V = S×l — объём соленоида (магнитного поля!).
Энергия катушки с током пропорциональна квадрату вектора магнитной индукции.
Разделив эту энергию на объём магнитного поля, получим среднюю плотность энергии:
[]. (10.11)
Это выражение очень похоже на выражение плотности энергии электростатического поля:
.
Обратите внимание: в сходных уравнениях, если e0 — в числителе, m0 — непременно в знаменателе.
Зная плотность энергии в каждой точке магнитного поля, мы теперь легко найдём энергию, сосредоточенную в любом объёме V поля.
Локальная плотность энергии в заданной точке поля:
.
Значит, dW = wdV и энергия в объёме V равна:
.