Исследование функции y=(x^2-1)/x

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1)
$D(f)=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$
$E(f)=(-\infty,\infty)$
Функция нечетная, так как:
$f(-x)=-f(x)$
$\frac{x^2-1}{-x}=\frac{1-x^2}{x}$

График- Гипербола.

2)
Функция имеет 2 асимптоты, одна вертикальная другая наклонная.

Вертикальная:
$x=0$
Так как :
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x^2-1}{x}= +\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2-1}{x}= -\infty$

Наклонную найдем по 2 этапам:

1.
Найдем угловой коэффициент, с помощью предела:
$\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2-1}{x^2} =\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x^2}= 1$

2.
$\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$
$\lim_{x \to \pm \infty}( \frac{x^2-1}{x} -x)=\lim_{x \to \pm \infty} - \frac{1}{x}=0$

Следовательно:
$y=x$ является наклонной асимптотой.

3)
Нули:
$\frac{x^2-1}{x}=0$
$x \neq 0$
$x=\pm 1$

4)
Промежутки знакопостоянства:
$\frac{x^2-1}{x} \ \textgreater \ 0$
$(-\infty,-1)=-$ - функция принимает отрицательные значения.
$(-1,0)=+$ - функция принимает положительные значения.
$(0,1)=-$ -функция принимает отрицательные значения.
$(1,\infty)=+$ -функция принимает положительные значения.

Т.е:
$x\in (-\infty,-1)\cup(0,1) \rightarrow f(x)\ \textless \ 0$
$x\in (-1,0)\cup(1,+\infty)\rightarrow f(x)\ \textgreater \ 0$

Функция является возрастающей. И не имеет экстремумов.

Newtion_zn (46.3k баллов) 26 Апр, 18