Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD ,все ребра основания которой равны 6. Угол...

Question

Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD ,все ребра основания которой равны 6. Угол между прямыми DM и AL, L-середина ребра MB, равен 60. Найдите высоту пирамиды.

Решение поподробней если можно.

Спасибо!

Answer 1

Здесь задача на непересекающиеся прямые.

Чтобы обозначить угол в 60 градусов между прямыми DM и AL, L-середина ребра MB, надо сделать параллельный перенос ребра DM в точку А.

Из рисунка (см. вложение)  видно, что получается равносторонний треугольник.

Точка L находится на половине высоты.

Отсюда вытекает уравнение AM1 = AL (размеры в мм, если сторона основания в см, то результат уменьшить в 10 раз).

(45^2 + 15^2) + (H/2)^2 = (30^2 + 30^2) + H^2

H = V((4/3)*(2250 - 1800)) =  V600 = 24,495.

Answer 2

Пусть H - середина ABCD, MH - высота  MABCD,

MH - медиана, биссектриса и высоты треугольника DBM => H - середина DB=> HL - средняя линия треугольника DMB => 2LH=DH;

AH перп. BD ( как диагонали квадрата),

AH перп МH ( т.к. МH - высота пирамиды) 

DB пересекает MH в точке H => AH перп к плоскости DMB, значит угол HLA = 60 (из условия),

CA = √(CB^2+AB^2)=6√2 (по т.Пифагора)

HA=1/2CA=3√2

LM=AH/tg60= √6

DM=2LM=2√6

MH=√(DM^2-DH^2)=√6 (по т.Пифагора)

Ответ: √6