Если все боковые рёбра пирамиды равны, то все треугольники, образованные высотой пирамиды, расстоянием от основания высоты до каждой из вершин основания и каждым из рёбер, равны (рёбра равны, высота общая, все тр-ки прямоугольные, то есть тр-ки равны по двум сторонам и углу). Значит точка основания высоты равноудалена от вершин основания, а это центр описанной около основания окружности.
Доказано.