В зависимости от изначального значения слова "Привязался" в качестве синонимов могут быть использованы следующие слова:
Полюбил, примотался, прицепился/пристал, преследовал
Например:
Я привязался к ним - Я полюбил их.
Веревка плохо привязалась - Веревка плохо примоталась.
"Чего ты ко мне привязался!" - "Чего ты ко мне прицепился/пристал!".
Бродячая собака привязалась ко мне - Бродячая собака преследовала меня.