Циолковский писал, что "основная цель его жизни - продвинуть человечество немного вперед". Тут не нужны кавычки, т.к. есть союз что.
Правильно:
Циолковский писал, что основная цель его жизни - продвинуть человечество немного вперед.
А вот здесь нужны кавычки:
Кирила Петрович спросил Машу: "Где ты была весь вечер?".