Как решить с помощью метода математической индукции? 1/2!+2/3!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!

Question

Как решить с помощью метода математической индукции?
1/2!+2/3!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!

Answer 1

Проверяем первый член суммы
1/2! = 1 - 1/(1+1)!
1/2 = 1 - 1/2
Верно
Предположим, что это верно для какого-то n.
1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!
И докажем, что оно верно для n+1
1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! + (n+1)/(n+2)! = 1 - 1/(n+1)! + (n+1)/(n+2)! =
 = 1 + (n+1)/(n+2)! - (n+2)/((n+1)!*(n+2) = 1 + (n+1)/(n+2)! - (n+2)/(n+2)! =
= 1 + (n+1-n-2)/(n+2)! = 1 + (-1)/(n+2)! = 1 - 1/(n+2)!
Что и требовалось доказать