Вычислить интеграл методом постановки [ dx/ (1+e^x)

0 голосов
42 просмотров

Вычислить интеграл методом постановки [ dx/ (1+e^x)


Математика (878 баллов) | 42 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Заменим: e^x=u, значит e^x *dx = du, получаем

\int\limits { \frac{1}{u(u+1)} } \, du= \int\limits { \frac{A}{u} } \, du + \int\limits { \frac{B}{u-1} } \, du \boxed{=}\\ \frac{1}{(u+1)u}= \frac{A}{u}+ \frac{B}{u+1}= \frac{A(u+1)+Bu}{u(u+1)} \\x^0:\,\,\,1=A\\x^{-1}:\,\,\,B=-1\\\boxed{=} \int\limits { \frac{1}{u} } \, du - \int\limits { \frac{1}{u+1} } \, du=\ln|u|-\ln|u+1|+C=\\=\ln |\frac{u}{u+1}|+C=\ln| \frac{e^x}{e^x+1} |+C= \ln \frac{e^x}{e^x+1}+C