дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 1998 а разность 13. каждый член прогрессии заминили суммой его цифр.С полученой последовательностью поступили так же и действовали до тех пор, пока не получилось последовательность однозначных чисел.
а) Халявный балл: трехсотый член член исходной прогрессии равен 1998+13*299=5885
5+8+8+5=26
2+6=8
б) Утверждение. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.
Доказательство. Рассмотрим число
(число, в десятичной записи составленное из цифр 
).
Из разложения 
следует требуемое утверждение.
Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от деления на 9 членов исходной прогрессии, в которой все нули заменены девятками.
1998 mod 9 = 0, поэтому первый член прогрессии - 9.
13 mod 9 = 4, поэтому второй член прогрессии 0+4=4, третий 4+4=8, четвертый (8+4) mod 9=3, пятый 3+4=7, шестой (7+4) mod 9=2, седьмой 2+4=6, восьмой (6+4) mod 9 = 1, девятый 1+4=5, десятый опять 5+4=9.
Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов равна 9+4+8+3+7+2+6+1+5=1+2+...+9=45
Сумма первых 33*9 членов 33*45=1485
Искомая сумма равна
в) Т.к. 350 / 9 = 38,..., a 350 mod 9 = 8, то сумма любых 350 подряд идущих членов равна 38*45+сумма последней восьмерки. Для того, чтобы сумма была наименьшей, необходимо, чтобы наибольшее число (т.е. 9) не попало в эту восьмерку. В этом случае сумма будет равна 38*46-9=1739.
Такой случай реализется, например, при подсчете суммы членов со второго по триста пятьдесят первый.
а) 8;
б) 1504;
в) 1739, при подсчете членов, например, начиная со второго.