Если вершина перпендикуляра к плоскости треугольника равноудалена от всех его сторон, то основанием перпендикуляра служит центр вписанной в треугольник окружности.
Пусть МА, МВ и МС - расстояния до сторон тр-ка.
В тр-ках МОА, МОВ и МОС углы О=90°, МА=МВ=МС и МО - общая, значит треугольники равны.
ОА=ОВ=ОС.
Точка О, лежащая в плоскости треугольника, равноудалённая его сторон, является центром вписанной в него окружности.