Методом математической индукции по n ∈ N доказать

$\frac{1}{2!}+ \frac{2}{3!}+...+ \frac{n}{(n+1)!}=1- \frac{1}{(n+1)!}$

Докажем равенство методом математической индукции:

1) Проверим справедливость равенства для n=1

$\frac{1}{(1+1)!}= \frac{1}{2!}=1- \frac{1}{2}$

Равентство справедливо

2) Предположим что равенство справедливо для n=k
докажем справедливость равенства для n=k+1

$(\frac{1}{2!}+ \frac{2}{3!}+...+ \frac{k}{(k+1)!})+ \frac{k+1}{(k+2)!}= 1- \frac{1}{(k+1)!}+ \frac{k+1}{(k+2)!}=$

$= \frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}+ \frac{k+1}{(k+2)!}= \frac{((k+1)!-1)*(k+2)+(k+1)}{(k+2)!}= \frac{(k+2)!-k-2+k+1}{(k+2)!}=$

$= \frac{(k+2)!-1}{(k+2)!}=1- \frac{1}{(k+2)!}$

т.к. равенство справедливо для n=k+1

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.