Используя метод математической индукции, докажите, что

0 голосов
23 просмотров

Используя метод математической индукции, докажите, что

image
Алгебра (81 баллов) | 23 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

-----------------------------------------------------------------
(РЕШЕНИЕ)
База индукции
При n=1 утверждение верно.  1 \leq 2-\frac{1}{1}

Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при n=k
т.е. справедливо неравенство
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+..+\frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{k}

Индукционный переход
Докажем что тогда справедливо неравенство при n=k+1
т.е. что тогда справедливо неравенство
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac {1}{k+1}

или используя предположение нужно доказать что
2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{k+1}
или
\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{k+1} \leq \frac{1}{k}
или
что
\frac{1+k+1}{(k+1)^2 }\leq \frac{1}{k}
\frac{k+2}{(k+1)^2} \leq \frac{1}{k}
так как обе части неотрицательны, то равносильно
(k+2)k \leq (k+1)^2
k^2+2k \leq k^2+2k+1
0 \leq 1
что очевидно верно
таким образом на основании принципа мат. индукции неравенство доказано.
----------------
(более логичное решение)
неравенство равносильно неравенству
\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2} \leq 1 - \frac{1}{n}

заметим что при n є N, n \geq 1
\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)}
поєтому
\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+...+\frac{1}{n(n-1)}=
\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+...+\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=
\frac{2}{1*2}-\frac{1}{1*2}+\frac{3}{2*3}-\frac{2}{2*3}+...+\frac{n}{n(n-1)}-\frac{n-1}{n(n-1)}=
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}

т.е. нужно получили требуемое

(407k баллов)
Похожие задачи